ภาคตัดกรวย

ภาคตัดกรวย (Conic Section) ม.4

ภาคตัดกรวยถือเป็นเนื้อหาอีกบทนึงที่ เรียนยาก แล้วดันออกข้อสอบบ่อยอีกต่างหาก แนวคิดของภาคตัดกรวยเกิดมาจาก นายคนหนึ่งที่หยิบของเล่นรูปทรงกรวยขึ้นมา พร้อมกับมีดคมกริบ แล้วบรรจงหั่นกรวยของเล่นนั้นออกในมุมต่างๆ แล้วสังเกตุเห็นว่า กรวยที่ตัดออกไปแล้วนั้น ดันมีรูปแบบ (Pattern) ในการหั่น เอาเข้าไป เรามาดูกันว่า มีเนื้อหาอะไรกันบ้างในเรื่อง ภาคตัดกรวย นี้

กำเนิดภาคตัดกรวย

ภาคตัดกรวย (conic section) เป็นเนื้อหาแขนงหนึ่งจากเรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์ในวิชาคณิตศาสตร์ที่ได้รับบรรจุให้อยู่ในเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.4 ภาคตัดกรวยหมายถึง เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวยกลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนี้ถูกตั้งเป็นหัวข้อศึกษาตั้งแต่สมัย 200 ปีก่อนคริสต์ศักราชโดย อะพอลโลเนียสแห่งเพอร์กา (Apollonius of Perga) ผู้ที่มีชีวิตอยู่ในช่วง 262 – 190 ปีก่อนคริสต์ศักราช ผู้ซึ่งศึกษาภาคตัดกรวยและค้นพบสมบัติหลายประการของภาคตัดกรวย พบว่าภาคตัดกรวยไม่เพียงแต่เป็นเส้นโค้งที่สวยงามแต่นำไปใช้ประโยชน์ได้หลายด้าน ต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูกนำไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่

กาลิเลโอ กาลิเลอีกาลิเลโอ กาลิเลอี

  • ค.ศ.1590 กาลิเลโอ (Galileo Galile) พบว่าขีปนาวุธที่ยิงขึ้นไปในมุมที่กำหนดมีวิถีการเคลื่อนที่เป็นพาราโบลา
  • ค.ศ.1609 เคปเลอร์ (Kapler) พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์เป็นวงรี
  • ค.ศ.1668 ไอแซค นิวตัน (Isaac Newton) เป็นบุคคลแรกที่ประดิษฐ์กล้องโทรทรรศน์ชนิดสะท้อนแสงโดยอาศัยหลักการที่มีพื้นฐานจากสมบัติของพาราโบลาและไฮเพอร์โบลา ในปัจจุบันมีการศึกษาเกี่ยวกับการนำสมบัติของภาคตัดกรวยไปใช้ประโยชน์ในด้านต่างๆ เพิ่มเติมตลอดเวลา เช่น ใช้จานทรงพาราโบลา (รูปเรขาคณิตสามมิติที่เกิดจากการหมุนพาราโบลารอบแกนสมมาตรของพาราโบลา) เป็นอุปกรณ์เก็บรวบรวมสัญญาณ เช่น จานรับส่งสัญญาณในระบบโทรคมนาคม หรือใช้เป็นอุปกรณ์เก็บพลังงานจากดวงอาทิตย์ หรือใช้เป็นอุปกรณ์สำหรับสะท้อนแสง เช่น โคมไฟ การหาตำแหน่งของเรือในทะเลโดยใช้จุดตัดของไฮเพอร์โบลา การทำงานของอุปกรณ์ที่ใช้สลายก้อนนิ่วในไตใช้สมบัติการสะท้อนของวงรี

การศึกษาเรื่องภาคตัดกรวย

การศึกษาภาคตัดกรวยสามารถศึกษาได้หลายแนวทาง ในที่นี้จะศึกษาภาคตัดกรวยโดยใช้วิธีทางเรขาคณิตวิเคราะห์

การศึกษาภาคตัดกรวย

รูปที่ 1: การศึกษาภาคตัดกรวย

กรวยเป็นรูปเรขาคณิตที่มีวิธีการสร้างในเชิงคณิตศาสตร์ ดังนี้

ให้ a และ b เป็นเส้นตรงใดๆ สองเส้นตัดกันที่จุด V เป็นมุมแหลม ให้เส้นตรง a และจุด V ตรึงอยู่กับที่ ผิวที่เกิดจากการหมุนเส้นตรง b รอบเส้นตรง a (โดยมุม ระหว่างเส้นตรง a และ b มีขนาดคงตัว) เรียกว่า กรวยกลมตรง (right circular cone) ดังแสดงในรูปที่ 1 ในที่นี้เราจะศึกษาเฉพาะกรวยกลมตรงเท่านั้นและจะเรียกสั้นๆ ว่า กรวย เส้นตรงที่ตรึงอยู่กับที่ เรียกว่า แกน (axis) ของกรวย จุด V เรียกว่า จุดยอด (vertex)

เส้นตรง b ที่ผ่านจุด V ทำมุม กับแกนของกรวย เรียกว่า ตัวก่อกำเนิด (generator) ของกรวย จุดยอด V แบ่งกรวยออกเป็นสองข้าง (nappes) ซึ่งอยู่คนละด้านของจุดยอด

ภาคตัดกรวย คือรูปในระนาบที่เกิดจากการตัดกันของระนาบกับกรวย ภาคตัดกรวยที่จะศึกษากันเกิดจากระนาบที่ไม่ผ่านจุดยอดของกรวยดังแสดงในรูปที่ 2 เมื่อระนาบตั้งฉากกับแกนของกรวย ระนาบตัดกรวยข้างเดียว ได้ภาคตัดกรวยที่เรียกว่า วงกลม (circle)

เมื่อระนาบไม่ตั้งฉากกับแกนของกรวยแต่ทำมุมแหลมกับแกนของกรวยขนาดใหญ่กว่า ระนาบจะตัดกรวยข้างเดียวได้ภาคตัดกรวยที่เรียกว่า วงรี (ellipse)

เมื่อระนาบขนานกับตัวก่อกำเนิดของกรวยระนาบจะตัดกรวยข้างเดียว ได้ภาคตัดกรวยที่เรียกว่า พาราโบลา (parabola)

และเมื่อระนาบขนานกับแกนของกรวย ระนาบจะตัดกรวยสองข้างได้ภาคตัดกรวยสองข้างได้ภาคตัดกรวยที่เรียกว่า ไฮเพอร์โบลา (hyperbola)

ภาคตัดกรวยชนิดต่างๆรูปที่ 2: ภาคตัดกรวยชนิดต่างๆ

 ถ้าระนาบผ่านจุดยอดของกรวย รอยตัดของระนาบกับกรวยจะเป็นจุด หรือเส้นตรงหนึ่งเส้น หรือเส้นตรงสองเส้นตัดกัน ซึ่งเรียกลักษณะดังกล่าวว่า ภาคตัดกรวยลดรูป (degenerate conics) ดังแสดงในรูปที่ 3

ภาคตัดกรวยลดรูป

รูปที่ 3 ภาคตัดกรวยลดรูป

การศึกษาภาคตัดกรวยโดยใช้เรขาคณิตวิเคราะห์

ในการศึกษาภาคตัดกรวยโดยใช้เรขาคณิตวิเคราะห์ มีประเด็นหลักที่จะศึกษา 2 ประเด็น คือ

  1.  หาสมการของภาคตัดกรวยแต่ละชนิด
  2.  จำแนกหรือระบุว่ากราฟของสมการเป็นภาคตัดกรวยชนิดใด แล้วเขียนกราฟของสมการเมื่อกำหนดสมการรูปแบบทั่วไปของภาคตัดกรวย

เนื้อหาภาคตัดกรวยในติวฟรี.คอม

เนื่องจากเนื้อหาเรื่องภาคตัดกรวยนั้นยาวและมีหลายส่วน พี่ติวฟรีจึงได้แบ่งเนื้อหาของภาคตัดกรวยทั้งหมดออกเป็นหน้าย่อยๆเพื่อให้เป็นระเบียบเรียบร้อยและให้น้องๆอ่านกันได้ง่าย ให้คลิ๊กเลือกเลยครับ

ข้ามไปยังเนื้อหา:

  1. ภาคตัดกรวย (Conic Section)
  2. วงกลม (Circle)
  3. พาราโบลา (Parabola)
  4. วงรี (Ellipse)
  5. ไฮเพอร์โบลา (Hyperbola)

ข้อสอบภาคตัดกรวย Entrance

ตัวอย่างข้อสอบจากเรื่องภาคตัดกรวย ข้อนี้ยากนะครับเพราะเป็นข้อสอบ Entrance เลย แนะนำให้รู้เรื่องทั้ง 5 ห้วข้อแรกที่ว่ามาก่อนแล้วค่อยมาดูข้อสอบข้อนี้นะครับ

 

สำหรับ คนที่สนใจอยากเรียนคณิตศาสตร์เรื่องภาคตัดกรวย และบทอื่นๆ แต่ไม่อยากอ่านเอง อยากดูในรูปแบบคลิปวีดีโอมากกว่า พี่มีของดีมาแนะนำครับ คลิปวีดีโอสอนเรื่องความน่าจะเป็นครบทุกหัวข้อ และบทเรียนอื่นๆในระดับชั้นมัธยมอีกครบถ้วน สอนอย่างละเอียดตั้งแต่เริ่มต้น พร้อมด้วยโจทย์เรื่องภาคตัดกรวยเรียงจากง่ายไปยาก ลองอ่านข้อความด้านล่างนี้ดูนะครับ



ติวฟรี ดอทคอม
Facebook

เขียนโดย ติวฟรี ดอทคอม

ผมชื่อ นายติวฟรี จบการศึกษาจากคณะวิศวกรรมศาสตร์ สาขาวิศวกรรมคอมพิวเตอร์ KMITL เป็นคอลัมนิสต์ของเว็บไซท์ TewFree.com รวบรวมเนื้อหา ข่าว และบทความเพื่อการศึกษาที่น่าสนใจ สำหรับน้องๆวัยรุ่นวัยเรียน โดยรวบรวม คลิปวีดีโอจากติวเตอร์ชื่อดัง จากสถาบันกวดวิชาต่างๆทั่วประเทศ มาไว้ที่เว็บนี้ ผมอยากให้ เด็กไทยมีความรู้ ความสามารถ มากขึ้น การศึกษาไทยจะต้องเข้าถึงได้ง่าย สะดวก และรวดเร็ว ทุกที่ ทุกเวลา เพราะเราสนับสนุนการศึกษาไทย


2 ความคิดเห็นในหัวข้อ “ภาคตัดกรวย (Conic Section) ม.4”


  1. สุภาวดี บุษบง says:

    อยากได้เนื้อหาไปสอนเสริมให้เด็กนักเรียนคะแต่ที่โรงเรียนเน็ตไม่ทั่วถึงมีวิธีการแนะนำได้หรือเปล่าคะ เพราะเนื้อหามีประโยชน์มากคะ เยี่ยมจริงๆคะเพราะโรงเรียนเราเป็นโรงเรียนการกุศลและเด็กด้อยโอกาศเยอะครูก็อยากจะหาความรู้เพิ่มให้คะ

ร่วมแสดงความคิดเห็นในหัวข้อ “ภาคตัดกรวย (Conic Section) ม.4”

Copyright © TewFree.com ติวฟรีออนไลน์ คลิปวีดีโอ เฉลยข้อสอบ - ติวฟรีออนไลน์ คลิปเฉลยข้อสอบ www.tewfree.com Powered by Wordpress