ไฮเพอร์โบลา (Hyperbola) ม.4

ต่อกันด้วยหัวข้อสุดท้ายจากเนื้อหาบทภาคตัดกรวย ม.4 นะครับ กับสมการไฮเพอร์โบลา ที่รูปร่างหน้าตาจะคล้ายๆกับสมการพาราโบลาที่กำลังส่องกระจกอยู่ เจ้าไฮเพอร์โบลาจะมีสูตรสมการที่ซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย แต่จะมีสูตรในการจำและแยกแยะซึ่งถ้าดูเป็นแล้ว แยกง่ายมาก แค่เครื่องหมาย ± เองครับ

หลายคนอาจจะยังไม่รู้จักว่าไฮเพอร์โบลาคืออะไร เรามาลองทำความรู้จักกันมันดูกันนะครับ สมการไฮเพอร์โบลาในปัจจุบันได้ถูกตั้งชื่อโดยนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกที่ชื่อว่า Apollonius ต่อมานักคณิตศาสตร์ชื่อ Pappus ได้ค้นพบจุดที่เรียกว่าจุดโฟกัส (Focus) และเส้นไดเรกตริกซ์ (Directrix) โดยสมการไฮเพอร์โบลานี้มีรูปร่างมาจากวงโคจรของดาวบริวารรอบดวงอาทิตย์

นิยามของสมการไฮเพอร์โบลา

ไฮเพอร์โบลา (Hyperbola) คือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งผลต่างของระยะทางจากจุดใดๆไปยังจุด F1 และ F2 ที่ตรึงอยู่กับที่มีค่าคงตัว โดยค่าคงตัวน้อยกว่าระยะห่างระหว่างจุดคงที่ที่ตรึงอยู่กับที่ทั้งสอง จุด F1 และ F2 ดังกล่าวนี้เรียกว่า โฟกัส (Focus) ของไฮเพอร์โบลา

สมการไฮเพอร์โบลาให้ระยะทางจากจุด F1 และ F2 ไปยังเส้นกราฟมีค่าเท่ากับ r1=F1 และ r2=F2 และระยะทางระหว่างจุด F และจุด F2 มีค่าเท่ากับ 2c หรือเรียกอีกอย่างว่าค่า k ซึ่งค่า k นี้จะมีค่าเป็นบวกเสมอ

r2-r1 = k

ถ้าจุด P ซึ่งอยู่บนเส้นกราฟด้านซ้ายมืออยู่บนแกน x แล้ว

k = (c+a) – (c-a) = 2a

ดังนั้นเราสามารถคำนวณค่า k=2a ได้ หรือนั่นก็คือระยะทางระหว่างจุดยอดของกราฟไฮเพอร์โบลาทั้งสอง ข้อสังเกตุคือเส้นกราฟพาราโบลาที่เกิดจาดจุดโฟกัส F1 จะมีเส้นกราฟที่เกิดจาด F2 สะท้อนเหมือนกันอยู่ในฝั่งตรงข้ามเสมอ

กราฟไฮเพอร์โบลา

สมการไฮเพอร์โบลา

รูปแบบของสมการไฮเพอร์โบลาจะแบ่งออกตามรูปกราฟสมการสองแบบ คือไฮเพอร์โบลาแบบตะแคง (ซ้ายขวา) และไฮเพอร์โบลาแบบตั้ง (บนล่าง) โดยทั้งสองรูปแบบมีสมการดังนี้

 

ไฮเพอร์โบลาตะแคง ไฮเพอร์โบลาตั้ง
กราฟไฮเพอร์โบลาตะแคงสมการไฮเพอร์โบลาคือสมการไฮเพอร์โบลาตะแคงถ้าจุดศูนย์กลางของสมการ c อยู่ที่จุด (0,0) เราจะได้สมการไฮเพอร์โบลาที่จุดกำเนิดดังนี้สมการไฮเพอร์โบลาตะแคง2

สังเกตว่าหน้า x เป็นบวก ดังนั้นแกนตามขวางจึงวางตัวในแนวแกน x (a อยู่กับ x)แกนตามขวาง (แกนที่ลากตัดกึ่งกลางของกราฟ) มีความยาวเป็น 2a

แกนสังยุค มีความยาวเป็น 2b

ระยะโฟกัส มีความยาว

สมการไฮเพอร์โบลาตะแคง3

 

กราฟไฮเพอร์โบลาตั้งสมการไฮเพอร์โบลาคือสมการไฮเพอร์โบลาตั้งถ้าจุดศูนย์กลางของสมการ c อยู่ที่จุด (0,0) เราจะได้สมการไฮเพอร์โบลาที่จุดกำเนิดดังนี้สมการไฮเพอร์โบลาตั้ง2

สังเกตว่าหน้า x เป็นบวก ดังนั้นแกนตามขวางจึงวางตัวในแนวแกน x (a อยู่กับ x)แกนตามขวาง (แกนที่ลากตัดกึ่งกลางของกราฟ) มีความยาวเป็น 2a

แกนสังยุค มีความยาวเป็น 2b

ระยะโฟกัส มีความยาว

สมการไฮเพอร์โบลาตั้ง3

 

ข้อสังเกตุ: a ไม่จำเป็นต้องยาวกว่า b เหมือนในสมการวงรี แต่ถ้า a=b จะได้สี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่ตรงกลาง จะเรียกว่าเป็น ไฮเพอร์โบลามุมฉาก (Rectangular Hyperbola)

 

โจทย์ไฮเพอร์โบลา

ตัวอย่างที่1: จงหาจุดศูนย์กลาง จุดโฟกัส จุดยอด ความยาวของแกนตามขวาง ความยาวแกนสังยุค ความยาวเส้นลาตัสเรกตัม ค่าเอ็คเซนตริกซิตี (e) และสมการเส้นกำกับของไฮเพอร์โบลาต่อไปนี้ พร้อมทั้งวาดกราฟ

ex1-equation

วิธีทำ

ตัวเลขส่วนของสมการไฉเพอร์โบลาที่โจทย์ให้มาเป็นกำลังหนึ่ง แต่เราต้องการกำลังสองเพื่อเข้าสูตรไฮเพอร์โบลา จึงแปลงสมการนี้ให้อยู่ในรูปกำลังสองได้ดังนี้

ex1-equation2

ซึ่งเมื่อนำไปเทียบกับสมการมาตรฐานของไฮเพอร์โบลา

ex1-equation3

เราจะได้ค่า a=4, b=3

ใช้สูตรพีธากอรัสเพื่อหาค่า c ได้ดังนี้

c2 = a2 + b2

c2 = 42 + 32

c2 = 25

c = 5

เมื่อเราได้ค่า a, b, และ c มาครบแล้ว จะสามารถเขียนรูปกราฟได้ดังนี้

ex1-graph

จากรูปและสมบัติของไฮเพอร์โบลา จะได้

จุดศูนย์กลางคือ (0,0)

จุดโฟกัส คือ (±5,0)

จุดยอด คือ (±4,0)

ความยาวของแกนตามขวาง 2a = 8

ความยาวแกนสังยุค 2b = 3

ความยาวเส้นเลตัสเรกตัม latusrectum

สมการเส้นกำกับ สมการเส้นกำกับ

ค่าเอ็คเซนตริกซิตี (e) = c/a = 5/4 = 1.25

#Answer


 

ข้ามไปยังเนื้อหา:

  1. ภาคตัดกรวย (Conic Section)
  2. วงกลม (Circle)
  3. พาราโบลา (Parabola)
  4. วงรี (Ellipse)
  5. ไฮเพอร์โบลา (Hyperbola)

สำหรับ คนที่สนใจอยากเรียนคณิตศาสตร์เรื่องภาคตัดกรวย และบทอื่นๆ แต่ไม่อยากอ่านเอง อยากดูในรูปแบบคลิปวีดีโอมากกว่า พี่มีของดีมาแนะนำครับ คลิปวีดีโอสอนเรื่องความน่าจะเป็นครบทุกหัวข้อ และบทเรียนอื่นๆในระดับชั้นมัธยมอีกครบถ้วน สอนอย่างละเอียดตั้งแต่เริ่มต้น พร้อมด้วยโจทย์เรื่องภาคตัดกรวยเรียงจากง่ายไปยาก ลองอ่านข้อความด้านล่างนี้ดูนะครับ



ติวฟรี ดอทคอม
Facebook

เขียนโดย ติวฟรี ดอทคอม

ผมชื่อ นายติวฟรี จบการศึกษาจากคณะวิศวกรรมศาสตร์ สาขาวิศวกรรมคอมพิวเตอร์ KMITL เป็นคอลัมนิสต์ของเว็บไซท์ TewFree.com รวบรวมเนื้อหา ข่าว และบทความเพื่อการศึกษาที่น่าสนใจ สำหรับน้องๆวัยรุ่นวัยเรียน โดยรวบรวม คลิปวีดีโอจากติวเตอร์ชื่อดัง จากสถาบันกวดวิชาต่างๆทั่วประเทศ มาไว้ที่เว็บนี้ ผมอยากให้ เด็กไทยมีความรู้ ความสามารถ มากขึ้น การศึกษาไทยจะต้องเข้าถึงได้ง่าย สะดวก และรวดเร็ว ทุกที่ ทุกเวลา เพราะเราสนับสนุนการศึกษาไทย


1 ความคิดเห็นในหัวข้อ “ไฮเพอร์โบลา (Hyperbola) ม.4”


  1. ดช.นาคิน บินทะลุบ้าน says:

    อธิบายพอเข้าใจนิดหน่อยครับ แถมได้โจทย์ไปแก้ข้อสอบ 1 ข้อด้วยครับ มีประโยชน์หน่อยๆครับ อุอุอิอิชิมะเค๊อะ!

ร่วมแสดงความคิดเห็นในหัวข้อ “ไฮเพอร์โบลา (Hyperbola) ม.4”

Copyright © TewFree.com ติวฟรีออนไลน์ คลิปวีดีโอ เฉลยข้อสอบ - ติวฟรีออนไลน์ คลิปเฉลยข้อสอบ www.tewfree.com Powered by Wordpress