นิยาม ในความหมายของคณิตศาสตร์คือ คำจำกัดความให้ทุกคนเข้าใจตรงกัน ซึ่งเป็นแก่นของคณิตศาสตร์ ที่ไม่ว่าเราจะเจอโจทย์ยากขนาดไหน พลิกแพลงขนาดไหน ก็ไม่สามารถจะดิ้นหลุดจากคำว่านิยามไปได้ เรียกได้ว่าโจทย์ทั้งหมดในจักรวาลนี้ สามารถใช้เพียงนิยาม ในการแก้ปัญหาได้ทั้งหมด (ถ้ามีคนตั้งนิยามมาแล้วนะ) แต่ในความเป็นจริงแล้วนักเรียนมากกว่า 90% กลับมองข้ามมันไป
บทนิยาม (Defined Terms) มีความหมายอย่างเป็นทางการว่า คำหรือข้อความที่มีการให้ความหมายหรือคำจำกัดความไว้อย่างชัดเจน เพื่อทุกคนจะได้มีความเข้าใจที่ตรงกัน ส่วนมากนิยามในภาษาไทยนั้นจะแปลมาจากนิยามภาษาอังกฤษโดยตรง ซึ่งในทางด้านความหมายจะถูกต้อง 100% อยู่แล้ว แต่ในหลายๆนิยามที่ดูเหมือนง่าย อาจจะสร้างปัญหาให้กับเราได้ถ้าเรามองข้ามมันไป
เราลองมาดูตัวอย่างกัน กับนิยามเรื่อง จำนวนคู่และจำนวนคี่ ในทางคณิตศาสตร์
บทนิยาม: จำนวนเต็ม a เป็นจำนวนคู่ ก็ต่อเมื่อ สามารถเขียน a=2k เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม
จำนวนเต็ม a เป็นจำนวนคี่ ก็ต่อเมื่อ สามารถเขียน a=2k+1 เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม
หลายๆคน (รวมถึงพี่ติวฟรีเองด้วย) เมื่อได้อ่านนิยามนี้แล้ว ก็จะยิ้มอยู่ในใจว่า ง่ายนี่นา ไม่เห็นมีอะไรมากเลย ไม่ผิดหรอกครับ มันง่ายจริงๆ แถมทุกคนก็สามารถตอบคำถามได้หมดว่า 1 เป็นจำนวนคี่ และ 2 เป็นจำนวนคู่ ฯลฯ
แบบฝึกหัดมักจะง่าย แต่ในห้องสอบ เจอดีทุกทีสิน่า
เป็นกันทุกที เจอกันทุกคนครับ 555 ดั๊น ไปเจอกับของแปลก ที่สร้างความลำบากให้เราอย่างมาก แถมตอนที่เจอกันครั้งแรกเลยก็คือ ในห้องสอบ ตัวผมนั้นเคยเจอมาเองกับตัวตอนเรียนอยู่เหมือนกันครับ กับคำถามง่ายๆ ที่ตอบไม่ถูกเหมือนกัน เช่นคำถามนี้
ลองทำโจทย์ข้อนี้ดูสิ
คำถาม: 0 เป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคี่ ก. จำนวนคู่ ข. จำนวนคี่ ค. ถูกทั้งสองข้อ ง. ไม่มีข้อใดถูก |
โห พี่ท่าน กะไม่ให้ได้ผุดได้เกิดกันเลยนะข้อนี้ แถมมีชอยส์ ค. ง. มาให้เลือกอีก จะเลือกข้อไหนดีล่ะเนี่ย โอ้ย
เมื่อเจอของแปลก เจอทางตัน ให้กลับไปดูที่นิยาม
นิยามสามารถแก้ปัญหาได้ครอบจักรวาล (ถ้ามีใครนิยามไว้แล้วนะครับ) เราจึงย้อนกลับไปดูนิยามของจำนวนคู่และจำนวนคี่ว่า มันคือ
บทนิยาม: จำนวนเต็ม a เป็นจำนวนคู่ ก็ต่อเมื่อ สามารถเขียน a=2k เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม
จำนวนเต็ม a เป็นจำนวนคี่ ก็ต่อเมื่อ สามารถเขียน a=2k+1 เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม
อ้า เอาล่ะ เริ่มเข้าเค้าขึ้นมาหน่อย ค่อยๆใจเย็นๆดูเทียบกับนิยามไป เราลองจับ 0 ไปใส่แทน a ในนิยามดูนะครับ
ลองเริ่มจากนิยามของจำนวนคู่ดูก่อน
จำนวนเต็ม 0 เป็นจำนวนคู่ ก็ต่อเมื่อ สามารถเขียน 0 = 2k เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม
0 = 2k
0 = k
นั่นไง!!! ถ้าเราใส่ค่าจำนวนเต็มศูนย์ลงไปที่ k ปุ๊บก็จะได้สมการ 0 = 2 * 0 ซึ่งเป็นจริง
ต่อด้วยนิยามของจำนวนคี่
จำนวนเต็ม 0 เป็นจำนวนคี่ ก็ต่อเมื่อ สามารถเขียน 0 = 2k +1 เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม
0 = 2k + 1
-1 = 2k
k = -1/2
อ้าว k ไม่เป็นจำนวนเต็มนี่นา แสดงว่า 0 ไม่ใช่จำนวนเต็มคี่ และชอยส์ ค. และ ง. ก็ผิด
คำถามข้อนี้จึงตอบ ก. 0 เป็นจำนวนคู่
นี่แหล่ะ ความสำคัญของนิยาม
เห็นไหมครับว่า การใช้นิยามสำคัญจริงๆ เมื่อเราเจอของแปลก เจอทางตัน ที่ไม่รู้จะไปต่ออย่างไรดี จึงต้องย้อนกลับมาดูที่นิยาม ซึ่งก็สามารถแก้ปัญหาได้อย่างครอบจักรวาลจริงๆ เวลาเรียนคณิตศาสตร์ครั้งหน้า ลองให้ความสำคัญกับนิยามมากกว่านี้ดูนะครับ แล้วเราจะเรียนได้สนุกขึ้น และเข้าใจของแก่นคณิตศาสตร์มากขึ้น
ทิ้งท้ายด้วยโจทย์ข้อนี้นะครับ
คำถาม: 2.2 เป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคี่ ก. จำนวนคู่ ข. จำนวนคี่ ค. ถูกทั้งสองข้อ ง. ไม่มีข้อใดถูก |
ลองทำดูนะครับ แล้วโพสต์คำตอบลงข้างล่างครับ
ตอบ ง หรือป่าวครับ
ดีค่ะ
2.2 =2k
1.1 =k (นำ 1/2 คูณทั้งสองข้างของสมการ)
k ไม่เป็นจำนวนเต็ม ดังน้น 2.2 ไม่เป็นจำนวนคู่
2.2 = 2k+1
1.2 = 2k (นำ -1 บวกทั้งสองข้างของสมการ)
0.6 = k (นำ 1/2 คูณทั้งสองข้างของสมการ)
k ไม่เป็นจำนวนเต็ม ดังน้น 2.2 ไม่เป็นจำนวนคี่
ดังนั้น ข้อนี้ ตอบ ง.ไม่มีข้อใดถูก
KUY
ง อยู่แล้ว เพราะ k ไม่เป็นจำนวนเต็ม
ไอ้ 0 ก็เหมือนกัน กากๆ ใครๆก็รู้ว่าเป็นคู่ เหอะๆ