ภาคตัดกรวย (Conic Section) ม.4

ภาคตัดกรวย ถือเป็นเนื้อหาอีกบทนึงที่ เรียนยาก แล้วดันออกข้อสอบบ่อยอีกต่างหาก แนวคิดของภาคตัดกรวยเกิดมาจาก นายคนหนึ่งที่หยิบของเล่นรูปทรงกรวยขึ้นมา พร้อมกับมีดคมกริบ แล้วบรรจงหั่นกรวยของเล่นนั้นออกในมุมต่างๆ แล้วสังเกตุเห็นว่า กรวยที่ตัดออกไปแล้วนั้น ดันมีรูปแบบ (Pattern) ในการหั่น เอาเข้าไป เรามาดูกันว่า มีเนื้อหาอะไรกันบ้างในเรื่อง ภาคตัดกรวย นี้

กำเนิดภาคตัดกรวย

ภาคตัดกรวย (conic section) เป็นเนื้อหาแขนงหนึ่งจากเรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์ในวิชาคณิตศาสตร์ที่ได้รับบรรจุให้อยู่ใน เนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.4 ภาคตัดกรวยหมายถึง เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวยกลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนี้ถูกตั้งเป็นหัวข้อศึกษาตั้งแต่สมัย 200 ปีก่อนคริสต์ศักราชโดย อะพอลโลเนียสแห่งเพอร์กา (Apollonius of Perga) ผู้ที่มีชีวิตอยู่ในช่วง 262 – 190 ปีก่อนคริสต์ศักราช ผู้ซึ่งศึกษาภาคตัดกรวยและค้นพบสมบัติหลายประการของภาคตัดกรวย พบว่าภาคตัดกรวยไม่เพียงแต่เป็นเส้นโค้งที่สวยงามแต่นำไปใช้ประโยชน์ได้หลายด้าน ต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูกนำไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่

กาลิเลโอ กาลิเลอี

• ค.ศ.1590 กาลิเลโอ (Galileo Galile) พบว่าขีปนาวุธที่ยิงขึ้นไปในมุมที่กำหนดมีวิถีการเคลื่อนที่เป็นพาราโบลา
• ค.ศ.1609 เคปเลอร์ (Kapler) พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์เป็นวงรี
• ค.ศ.1668 ไอแซค นิวตัน (Isaac Newton) เป็นบุคคลแรกที่ประดิษฐ์กล้องโทรทรรศน์ชนิดสะท้อนแสงโดยอาศัยหลักการที่มีพื้นฐานจากสมบัติของพาราโบลาและไฮเพอร์โบลา ในปัจจุบันมีการศึกษาเกี่ยวกับการนำสมบัติของภาคตัดกรวยไปใช้ประโยชน์ในด้านต่างๆ เพิ่มเติมตลอดเวลา เช่น ใช้จานทรงพาราโบลา (รูปเรขาคณิตสามมิติที่เกิดจากการหมุนพาราโบลารอบแกนสมมาตรของพาราโบลา) เป็นอุปกรณ์เก็บรวบรวมสัญญาณ เช่น จานรับส่งสัญญาณในระบบโทรคมนาคม หรือใช้เป็นอุปกรณ์เก็บพลังงานจากดวงอาทิตย์ หรือใช้เป็นอุปกรณ์สำหรับสะท้อนแสง เช่น โคมไฟ การหาตำแหน่งของเรือในทะเลโดยใช้จุดตัดของไฮเพอร์โบลา การทำงานของอุปกรณ์ที่ใช้สลายก้อนนิ่วในไตใช้สมบัติการสะท้อนของวงรี

การศึกษาเรื่องภาคตัดกรวย

การศึกษาภาคตัดกรวยสามารถศึกษาได้หลายแนวทาง ในที่นี้จะศึกษาภาคตัดกรวยโดยใช้วิธีทางเรขาคณิตวิเคราะห์

รูปที่ 1: การศึกษาภาคตัดกรวย

กรวยเป็นรูปเรขาคณิตที่มีวิธีการสร้างในเชิงคณิตศาสตร์ ดังนี้

ให้ a และ b เป็นเส้นตรงใดๆ สองเส้นตัดกันที่จุด V เป็นมุมแหลม ให้เส้นตรง a และจุด V ตรึงอยู่กับที่ ผิวที่เกิดจากการหมุนเส้นตรง b รอบเส้นตรง a (โดยมุม ระหว่างเส้นตรง a และ b มีขนาดคงตัว) เรียกว่า กรวยกลมตรง (right circular cone) ดังแสดงในรูปที่ 1 ในที่นี้เราจะศึกษาเฉพาะกรวยกลมตรงเท่านั้นและจะเรียกสั้นๆ ว่า กรวย เส้นตรงที่ตรึงอยู่กับที่ เรียกว่า แกน (axis) ของกรวย จุด V เรียกว่า จุดยอด (vertex)

เส้นตรง b ที่ผ่านจุด V ทำมุม กับแกนของกรวย เรียกว่า ตัวก่อกำเนิด (generator) ของกรวย จุดยอด V แบ่งกรวยออกเป็นสองข้าง (nappes) ซึ่งอยู่คนละด้านของจุดยอด

ภาคตัดกรวย คือรูปในระนาบที่เกิดจากการตัดกันของระนาบกับกรวย ภาคตัดกรวยที่จะศึกษากันเกิดจากระนาบที่ไม่ผ่านจุดยอดของกรวยดังแสดงในรูปที่ 2 เมื่อระนาบตั้งฉากกับแกนของกรวย ระนาบตัดกรวยข้างเดียว ได้ภาคตัดกรวยที่เรียกว่า วงกลม (circle)

เมื่อระนาบไม่ตั้งฉากกับแกนของกรวยแต่ทำมุมแหลมกับแกนของกรวยขนาดใหญ่กว่า ระนาบจะตัดกรวยข้างเดียวได้ภาคตัดกรวยที่เรียกว่า วงรี (ellipse)

เมื่อระนาบขนานกับตัวก่อกำเนิดของกรวยระนาบจะตัดกรวยข้างเดียว ได้ภาคตัดกรวยที่เรียกว่า พาราโบลา (parabola)

และเมื่อระนาบขนานกับแกนของกรวย ระนาบจะตัดกรวยสองข้างได้ภาคตัดกรวยสองข้างได้ภาคตัดกรวยที่เรียกว่า ไฮเพอร์โบลา (hyperbola)

รูปที่ 2: ภาคตัดกรวยชนิดต่างๆ

 ถ้าระนาบผ่านจุดยอดของกรวย รอยตัดของระนาบกับกรวยจะเป็นจุด หรือเส้นตรงหนึ่งเส้น หรือเส้นตรงสองเส้นตัดกัน ซึ่งเรียกลักษณะดังกล่าวว่า ภาคตัดกรวยลดรูป (degenerate conics) ดังแสดงในรูปที่ 3

รูปที่ 3 ภาคตัดกรวยลดรูป

การศึกษาภาคตัดกรวยโดยใช้เรขาคณิตวิเคราะห์

ในการศึกษาภาคตัดกรวยโดยใช้เรขาคณิตวิเคราะห์ มีประเด็นหลักที่จะศึกษา 2 ประเด็น คือ

1.  หาสมการของภาคตัดกรวยแต่ละชนิด
2.  จำแนกหรือระบุว่ากราฟของสมการเป็นภาคตัดกรวยชนิดใด แล้วเขียนกราฟของสมการเมื่อกำหนดสมการรูปแบบทั่วไปของภาคตัดกรวย

เนื้อหาภาคตัดกรวยในติวฟรี.คอม

เนื่องจากเนื้อหาเรื่องภาคตัดกรวยนั้นยาวและมีหลายส่วน พี่ติวฟรีจึงได้แบ่งเนื้อหาของภาคตัดกรวยทั้งหมดออกเป็นหน้าย่อยๆเพื่อให้เป็นระเบียบเรียบร้อยและให้น้องๆอ่านกันได้ง่าย ให้คลิ๊กเลือกเลยครับ

ข้ามไปยังเนื้อหา:

1. ภาคตัดกรวย (Conic Section)
2. วงกลม (Circle)
3. พาราโบลา (Parabola)
4. วงรี (Ellipse)
5. ไฮเพอร์โบลา (Hyperbola)

ข้อสอบภาคตัดกรวย Entrance

ตัวอย่างข้อสอบจากเรื่องภาคตัดกรวย ข้อนี้ยากนะครับเพราะเป็นข้อสอบ Entrance เลย แนะนำให้รู้เรื่องทั้ง 5 ห้วข้อแรกที่ว่ามาก่อนแล้วค่อยมาดูข้อสอบข้อนี้นะครับ

สำหรับ คนที่สนใจอยากเรียนคณิตศาสตร์เรื่องภาคตัดกรวย และบทอื่นๆ แต่ไม่อยากอ่านเอง อยากดูในรูปแบบคลิปวีดีโอมากกว่า พี่มีของดีมาแนะนำครับ คลิปวีดีโอสอนเรื่องความน่าจะเป็นครบทุกหัวข้อ และบทเรียนอื่นๆในระดับชั้นมัธยมอีกครบถ้วน สอนอย่างละเอียดตั้งแต่เริ่มต้น พร้อมด้วยโจทย์เรื่องภาคตัดกรวยเรียงจากง่ายไปยาก ลองอ่านข้อความด้านล่างนี้ดูนะครับ