ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ม.4

ตรรกศาสตร์ เป็นวิชาแขนงหนึ่งที่มีการศึกษาและพัฒนามาตั้งแต่สมัยกรีกโบราณ คำว่า “ตรรกศาสตร์” มาจากภาษาสันสกฤตว่า “ตรฺก” (หมายถึง การตรึกตรอง หรือความคิด) อะริสโตเติล (Aristotle) เป็นผู้หนึ่งที่ได้เขียนตำราทางตรรกศาสตร์ที่เป็นระบบขึ้นเป็นครั้งแรก ซึ่งมีผลต่อความคิดทางปรัชญา ทางวิทยาศาสตร์ และทางศาสนาเป็นอย่างมาก สิ่งที่เราจะได้เรียนกันในระดับชั้น ม.4 นั้นถือว่าเป็นพื้นฐานของวิชาตรรกศาสตร์ เราจึงเรียกมันว่าบทเรียน ตรรกศาสตร์เบื้องต้นนั่นเอง

เรียนเรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ด้วยคลิปวีดีโอ

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

ตรรกศาสตร์ หมายถึง

   ตรรกศาสตร์ เป็นวิชาที่ว่าด้วยกฎเกณฑ์และเหตุผล การได้มาของผลภายใต้กฎเกณฑ์ที่กำหนดถือเป็นสาระสำคัญ  ข้อความหรือการให้เหตุผลในชีวิตประจำวันสามารถสร้างเป็นรูปแบบที่ชัดเจนจน ใช้ประโยชน์ในการสรุปความ  ความสมเหตุสมผลเป็นที่ยอมรับกันอย่างกว้างขวาง ตรรกศาสตร์เป็นแม่บทของคณิตศาสตร์แขนงต่าง ๆ และการประยุกต์

ประพจน์ (Propositions/Statement)

สิ่งแรกที่ต้องรู้จักในเรื่องตรรกศาสตร์คือ ประพจน์ ข้อความหรือประโยคที่มีค่าความจริง(T)หรือเท็จ(F) อย่างใดอย่างหนึ่ง ส่วนข้อความรูป คำสั่ง คำขอร้อง คำอุทาน คำปฏิเสธ ซึ่งไม่อยู่ในรูปของประโยคบอกเล่า จะเป็นข้อความที่ไม่เป็นประพจน์ สำหรับข้อความบอกเล่าแต่มีตัวแปรอยู่ด้วย ไม่สามารถบอกว่าเป็นจริงหรือเท็จจะไม่เป็นประพจน์ เรียกว่าประโยคเปิด

  ประโยคที่มีค่าความจริงไม่แน่นอน  หรือไม่อาจระบุได้ว่ามีค่าความจริงเป็นจริงหรือเป็นเท็จได้ ไม่เป็นประพจน์

การเชื่อมประพจน์

โดยปกติเมื่อกล่าวถึงข้อความหรือประโยคนั้นมักจะมีกริยามากกว่าหนึ่งตัว แสดงว่าได้นำประโยคมาเชื่อมกัน มากกว่าหนึ่งประโยค ดังนั้นถ้านำประพจน์มาเชื่อมกัน ก็จะได้ประพจน์ใหม่ ซึ่งสามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จ ตัวเชื่อมประพจน์มีอยู่ 5 ตัว และตัวเชื่อมที่ใช้กันมากในตรรกศาสตร์คือ และ หรือ ถ้า…แล้ว ก็ต่อเมื่อ  ไม่

  1. ตัวเชื่อมประพจน์ “และ”
    การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ “และ” สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ∧ q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นจริง (T) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F)
  2. ตัวเชื่อมประพจน์ “หรือ”
    การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ “หรือ” สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ∨q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T)
  3. ตัวเชื่อมประพจน์ “ถ้า…แล้ว”
    การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ “ถ้า…แล้ว” สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p → q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p เป็นจริง (T) และ q เป็นเท็จ (F) นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T)
  4. ตัวเชื่อมประพจน์ “ก็ต่อเมื่อ”
    การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ “ก็ต่อเมื่อ” สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ⇔ q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงกัน และจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงข้ามกัน
  5. นิเสธของประพจน์ “ไม่”
    นิเสธของประพจน์ใดๆ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามกับประพจน์นั้นๆ และสามารถเขียนแทนนิเสธของ p ได้ด้วย ~p

ตารางค่าความจริง

ตารางค่าความจริง

ตารางแสดงค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม พบเห็นบ่อยมากในเรื่องตรรกศาสตร์

ประพจน์ที่สมมูลกัน

ประพจน์ 2 ประพจน์จะสมมูลกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงเหมือนกัน ทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย

การทดสอบว่าประพจน์ 2 ประพจน์ สมมูลกัน ทำได้ 2 วิธีคือ

  1. สร้างตารางแจกแจงค่าความจริง ค่าความจริงต้องตรงกันทุกกรณี
  2. โดยการใช้หลักความจริงและประพจน์ที่สมมูลกันแบบง่ยๆที่ควรจำ เพื่อแปลงรูปประพจน์ไปเป็นแบบเดียวกัน

ตัวอย่างประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรทราบ มีดังนี้

p ∧ q     สมมูลกับ    q ∧ p

p ∨ q     สมมูลกับ    q ∨ p

(p ∧ q) ∧ r  สมมูลกับ    p ∧ (q ∧ r)

(p ∨ q) ∨ r  สมมูลกับ    p ∨ (q ∨ r)

p ∧ (q ∨ r)    สมมูลกับ    (p ∧ q) ∨ ( p ∧ r)

p ∨ (q ∧ r)   สมมูลกับ    (p ∨ q) ∧ ( p ∨ r)

p → q   สมมูลกับ    ~p ∨ q

p → q   สมมูลกับ    ~q → ~p

p ⇔ q   สมมูลกับ    (p → q) ∧ (q → p)

ประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน

ประพจน์ 2 ประพจน์เป็นนิเสธกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงตรงข้ามกันทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย

ตัวอย่างประพจน์ที่เป็นนิเสธกันที่ควรทราบ มีดังนี้

~(p ∧ q)   สมมูลกับ    ~p ∨ ~q

~(p ∨ q)   สมมูลกับ    ~p ∧ ~q

~(p → q)   สมมูลกับ    p ∧ ~q

~(p ⇔ q)    สมมูลกับ    (p ⇔ ~q) ∨(q ⇔ ~p)

~(p ⇔ q)    สมมูลกับ    (p ∧ ~q) ∨ ( q ∧~p)

สัจนิรันดร์

สัจจะ แปลว่าจริง ส่วนนิรันดร์ แปลว่าตลอดกาล ประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง ทุกกรณีของประพจน์ย่อย

ประโยคเปิด (Open Sentence)

คือข้อความที่อยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธ ที่มีตัวแปรและสื่อแทนค่าของตัวแปรนั้น จะได้ค่าความจริงแน่นอน หรือเป็นประพจน์ นิยมใช้สัญลักษณ์ P(x), P(x , y), Q(x , y) แทนประโยคเปิดที่มีตัวแปรระบุในวงเล็บ

ตัวบ่งปริมาณ (∀,∃)

ตัวบ่งปริมาณ เป็นตัวระบุจำนวนสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ประโยคเปิดกลายเป็นประพจน์ ตัวบ่งปริมาณมี 2 ชนิด คือ

  1. ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึง “สมาชิกทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์”  ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ “∀” อ่านว่า”สำหรับสมาชิก x ทุกตัว”
  2. ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึง “สมาชิกบางตัวในเอกภพสัมพัทธ์” ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ “∃” อ่านว่า “สำหรับสมาชิก x บางตัว”

ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ

  1. ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ x ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ทำให้ P(x) เป็นจริง
  2. ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อมี x อย่างน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นเท็จ
  3. ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อมี x อย่าน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นจริง
  4. ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อไม่มี x ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ P(x) เป็นจริง

นิเสธของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ

      ~∀x[P(x)] สมมูลกับ ∃x[~P(x)]

      ~∃x[P(x)] สมมูลกับ∀x[~P(x)]

      ~∀x[~P(x)] สมมูลกับ∃x[P(x)]

      ~∃x[~P(x)] สมมูลกับ∀x[P(x)]

การอ้างเหตุผล

การอ้างเหตุผล คือ การอ้างว่า “สำหรับเหตุการณ์ P1, P2,…, Pn ชุดหนึ่ง สามารถสรุปผลที่ตามมา C ได้” การอ้างเหตุผลนี้ ได้รับเลือกเป็นตัวแทนของ ข้อสอบในเรื่องตรรกศาสตร์ ให้เป็นข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย อย่าง O-Net และ PAT1 บ่อยๆ จึงเป็นเรื่องที่สำคัญมาก

การอ้างเหตุผลประกอบด้วย 2 ส่วน คือ

  1. เหตุ หรือสิ่งที่กำหนดให้
  2. ผล หรือสิ่งที่ตามมา

สำหรับการพิจารณาว่า การอ้างเหตุผลนั้นสมเหตุสมผลหรือไม่นั้นพิจารณาได้จากประพจน์ ( P1 ∧ P2 ∧ … Pn) → C ถ้าประพจน์ดังกล่าวมีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ (เป็นสัจนิรันดร์) เราสามารถสรุปได้ว่าการอ้างเหตุผลดังกล่าวเป็นการอ้างที่สมเหตุสมผล
ตัวอย่างเช่น

เหตุ     1. p → q
2. p
ผล       q

ข้อสอบตรรกศาสตร์เบื้องต้น

เป็นอย่างไรกันบ้าง จบกันไปแล้วนะครับสำหรับเนื้อหาเรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ม.4 น้องๆหลายคนอาจจะคิดว่ายาก แต่พอมาตอนนี้ ตรรกศาสตร์ไม่ยากเลยใช่ไหม ซ้อมทำโจทย์ตรรกศาสตร์กันเยอะๆนะจะได้เก่งๆ วันนี้ได้ความรู้เรื่องตรรกศาสตร์กันไปเต็มๆแล้ว คราวหน้าเตรียมพบกับเนื้อหาบทใหม่กันได้ พบกันใหม่ครับ




ติวฟรี ดอทคอม
Facebook

เขียนโดย ติวฟรี ดอทคอม

ผมชื่อ นายติวฟรี จบการศึกษาจากคณะวิศวกรรมศาสตร์ สาขาวิศวกรรมคอมพิวเตอร์ KMITL เป็นคอลัมนิสต์ของเว็บไซท์ TewFree.com รวบรวมเนื้อหา ข่าว และบทความเพื่อการศึกษาที่น่าสนใจ สำหรับน้องๆวัยรุ่นวัยเรียน โดยรวบรวม คลิปวีดีโอจากติวเตอร์ชื่อดัง จากสถาบันกวดวิชาต่างๆทั่วประเทศ มาไว้ที่เว็บนี้ ผมอยากให้ เด็กไทยมีความรู้ ความสามารถ มากขึ้น การศึกษาไทยจะต้องเข้าถึงได้ง่าย สะดวก และรวดเร็ว ทุกที่ ทุกเวลา เพราะเราสนับสนุนการศึกษาไทย


31 ความคิดเห็นในหัวข้อ “ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ม.4”


  1. miLd says:

    เข้าใจแล้วจ่ะ

  2. KaZuMa says:

    ขอบคุณพี่ๆที่เสียสละเวลาเขียนบทความดีๆเพื่อช่วยเหลือน้องๆครับ

  3. […] ม.4 การหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Sin Cos Tan) ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ม.4 ความน่าจะเป็น (Probability) คลิปเฉลยข้อสอบ […]

  4. คนึง ตอบประโคน says:

    กำหนดให้ P.q.r.s.และ t เป็นประพจน์มีค่าความจริงเป็น จริง เท็จ จริง เท็จและเท็จตามลำดับ

  5. เผื่อวันพุ่งนี้ says:

    คุงนร๊

  6. q→(p^~R)

    คัยทำเป้นช่วยหน่อยนะข๊ะ

  7. ออง'ออย says:

    เวลาครูสอนไม่เข้าใจ พอมาดูในเว็บนี้ก็ทำได้เลยค่ะ
    ขอบคุณค่ะ 🙂

  8. นี says:

    ทามมัยง่ายอ่ะ
    ตอนอ. สอนไม่เข้าจัย

  9. คนปอน ๆ says:

    เยืยมเลยครับตรงเท็จเป็นจริง จริงเป็นเท็จ

  10. บุญช่วย says:

    ไม่ทราบว่าจะนำ Karnaugh maps หรือใช้วิธี Quine-McCluskey ในการแก้ปัญหาตรรกศาสตร์ได้หรือไม่ครับ

  11. Sone P says:

    น่าสนใจมาก

  12. MJfilm OLome says:

    ขอบคุณมากๆครับ ช่วยได้เยอะมาก

  13. กานต์ says:

    ขอบคุณสำหรับความรู้ใหม่

  14. ข้าวฟ่าง says:

    เข้าใจแล้วค่ะขอบคุณมากๆค่ะ

  15. ฟ้าใส' says:

    บอกให้ โคตรไม่ได้เรื่องเลยครับ 5555
    สอนไม่เข้าใจ

  16. lopter loi says:

    สอนขั้นตอนไม่ละเอียด ทำให้เข้าใจยากนะครับ

  17. jakkarin thanamat says:

    ขอบคุณมากครับ

  18. TBKC says:

    ดีมากคราฟ

  19. กรกช says:

    ขอบคุนค่ะ

  20. ทาคุมะ says:

    ลงชื่ออ่านครับ

  21. Jimmy Fus Ro Dah says:

    รออยู่นะค้าบบ ^^

  22. Pleng Papichaya says:

    เขียนได้ดีมากครับ

  23. Liew Murasaki says:

    ขอบคุนค่ะ

  24. โตเซน says:

    แล้วเราจะรู้ความจริงจากธรรมชาติได้อย่างไร? เมื่อ
    (p^q)v(p^q)~(pvq)^(pvq)–>{(p^q)v(pvq)~(pvq)^(p^q)}p^q~pvq
    หาคำตอบให้ที…555 มาแบบมั่วๆเฉยๆอย่าใส่ใจนะ…ไปละ

  25. bank peper says:

    ดีมากคับ

  26. jet says:

    เข้าใจเเล้วคับ

  27. nuke says:

    ทบทวนที่นี้เเล้วเข้าใจเลยค่ะ

  28. jinjane says:

    เย้ๆๆๆๆ กว่าจะเข้าใจ

  29. เทพ จาก สุรินทร์ says:

    เว็บนี้โครตใช่เลย55555+ชอบคับชอบคับ
    ว่างๆเที่ยวดูช้างบ้านผมได้นะคับ

ร่วมแสดงความคิดเห็นในหัวข้อ “ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ม.4”

Copyright © TewFree.com ติวฟรีออนไลน์ คลิปวีดีโอ เฉลยข้อสอบ - ติวฟรีออนไลน์ คลิปเฉลยข้อสอบ www.tewfree.com Powered by Wordpress