ความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็น ม.5 (Probability)

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเริ่มมาจากปัญหาของการเล่นเกมการพนัน โดยมีนักพนันชาวฝรั่งเศสชื่อ เซอวาลิเยร์ เดอ เมเร (Chevalier de Mire) ซึงนิยมเล่นพนันมาก เดอ เมเร มีปัญหาอยู่อย่างนึงที่ยังแก้ไม่ตกสักที คือปัญหาในการแบ่งเงินพนันกันระหว่างนักพนัน แกเลยเข้าไปขอคำแนะนำจากนักคณิตศาสตร์ที่ปราดเปรื่องที่สุดในฝรั่งเศสยุคนั้น คือปาสคาล (Pascal) และแฟร์มาต์ (Fermat) จนเป็นที่มาของทฤษฎีความน่าจะเป็นในยุคปัจจุบัน

 

ความน่าจะเป็น (ม.5)

ความน่าจะเป็น ถือเป็นเรื่องหลักเลยที่จะได้เรียนกันในวิชาคณิตศาสตร์ ระดับชั้น ม.5 โดยอาจจะใช้ควบคู่กับ การเรียงลำดับและจัดหมู่ จริงๆแล้วเป็นบทเรียนที่สนุกและง่ายมาก เพราะใช้แค่การ บวก ลบ คูณ หาร ปกติ ไม่ต้องดิ๊ฟหรือใช้สมการยากๆ ก็สามารถหาคำตอบได้แล้ว การเรียนบทนี้ ความละเอียดรอบคอบจะมีส่วนมาก คอมม่อนเซนส์ ก็มีส่วน เช่นรู้ว่านั่งรอบโต๊ะกลมเป็นอย่างไร พระยืนติดผู้หญิงไม่ได้ หรือลูกคนนึงมีแม่กี่คน แต่ก็เป็นเพียงความรู้รอบตัวง่ายๆที่น้องๆทุกคนน่าจะรู้กันอยู่แล้ว ถึงไม่รู้ เห็นครั้งเดียวก็รู้แล้ว เราลองมาดูกันว่า ความน่าจะเป็น สนุกและง่ายขนาดไหน

ความหมายของความน่าจะเป็น

ในชีวิตประจำวันของทุกคนต้องได้ยินคำว่า ความน่าจะเป็น หรือ โอกาส เช่น โอกาสที่วันนี้แดดจะออกมีมาก ความน่าจะเป็นที่โยนเหรียญแล้วจะได้หัว มีเท่ากับได้ก้อย หรือความน่าจะเป็นที่จะถูกหวย มาน้อยกว่าจะถูกเจ้ามือกิน ฯลฯ ในยุคสมัคยก่อนที่ผู้คนส่วนมากใช้ความรู้สึกหรืออารมณ์ในการตัดสินใจอะไรหลายๆอย่าง ซึ่งร้อยคนก็มีความเห็นไม่เหมือนกัน ไม่มีหลักการในการคิด ความน่าจะเป็นจึงมีใช้ช่วยในการตัดสินในเกี่ยวกับเหตุการณ์ต่าง ๆ ได้ถูกต้องมากขึ้น เช่น วันนี้ควรจะเตรียมร่มหรือเสื้อกันฝนเวลาออกนอกบ้าน หรือไม่เมื่อมองดูท้องฟ้าแล้วมืดครึ้ม แสดงว่าโอกาสที่ฝนจะตกวันนี้มีมาก ดังนั้นจึงควรเตรียมอุปกรณ์ที่จะกันฝนได้ไปด้วย อาจจะเป็นร่ม หรือเสื้อกันฝนก็ได้

 

การทดลองสุ่ม (Random Experiment)

การทดลองสุ่มคือการทดลองที่เราสามารถจะคาดคะเนผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นได้ “โดยรวม” ซึ่งผลลัพธ์โดยรวมนี้คือความน่าจะเป็น แต่ว่าไม่สามารถคาดคะเนผลลัพธ์ได้เฉพาะเจาะจงเป็นรายครั้ง ว่า แต่ละครั้งที่เกิดการทดลอง จะเกิดผลลัพธ์อะไร เช่นเราทดลองทอยลูกเต๋า 6 หน้า และสามารถคาดคะเนได้ว่าเมื่อทอยเป็นพันเป็นหมื่นครั้งแล้ว มีความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าจะขึ้นหน้า 1 เป็น 1/6 แต่ว่าเราไม่สามารถที่จะทำนายได้เลยว่า การทอยลูกเต๋าครั้งต่อไป จะขึ้นเลขอะไร

แซมเปิลสเปซ (Sample Space)

คือ เซตที่มีสมาชิกเป็นผลลัพธ์ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม เป็นขอบเขตที่เราสนใจในการทดลองแต่ละครั้ง นิยมใช้สัญลักษณ์ S แทนแซมเปิลสเปซ มีความหมายว่า ในการทดลองหรือการกระทำใดๆก็ตาม ผลลัพธ์มีโอกาสที่จะเกิดขึ้นได้ จะต้องเป็นสมาชิกของแซมเปิลสเปซ

เหตุการณ์ (Event)

คือผลลัพธ์ของการทดลองสุ่ม เป็นสับเซตของแซมเปิลสเปซ เป็นสิ่งที่เราสนใจว่าจะเกิดอะไร

ข้อสังเกตุ: เนื่องจากเหตุการณ์เป็นสับเซตของแซมเปิลสเปซ ดังนั้น เซตว่าง ก็ถือเป็น เหตุการณ์ๆ หนึ่งด้วยครับ

นิยามของความน่าจะเป็น

  ถ้าการทดลองอย่างสุ่มหนึ่ง มีสมาชิกของ แซมเปิลสเปซ เป็นจำนวนเท่ากับ N
และจำนวนสมาชิกของเหตุการณ์ E ที่เราสนใจ มีค่าเท่ากับ n
โดยที่แต่ละสมาชิกของแซมเปิลสเปซนั้น มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆกัน
ความน่าจะเป็นของ การเกิดเหตุการณ์ E เขียนแทนด้วย P(E) จะมีค่าเท่ากับ n/N หรือ P(E)

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ คือ จำนวนที่แสดงให้ทราบว่าเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งมีโอกาสเกิดขึ้น มากหรือน้อยเพียงใด ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ๆ เท่ากับอัตราส่วนของจำนวนเหตุการณ์ที่เราสนใจ (จะให้เกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นก็ได้) ต่อจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้ ซึ่งมีสูตรในการคิดคำนวณดังนี้

สูตรความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

  ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

เมื่อผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่มแต่ละตัวมีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆ กัน
กำหนดให้

E     แทน เหตุการณ์ที่เราสนใจ
P(E) แทน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
n    แทน จำนวนสมาชิกของเหตุการณ์
S   แทน ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้
N  แทน จำนวนสมาชิกของผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้

คุณสมบัติของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

1. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ มีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1 
2. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแน่นอน เท่ากับ 1
3. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่มีโอกาสเกิดขึ้น เท่ากับ  0

 

ข้อสอบความน่าจะเป็น

พี่ได้คัดเลือกข้อสอบเรื่องความน่าจะเป็นแบบง่ายๆมาให้น้องได้ลองฝึกฝีมือทำกันดูนะครับ เป็นข้อสอบ O-Net คณิตศาสตร์ ของจริงที่ใช้สอบกันอยู่เนี่ยแหล่ะครับ ลองทำโจทย์ก่อนดูเฉลยนะ

ตัวอย่างข้อสอบความน่าจะเป็น (คณิตศาสตร์ Entrance)

กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลขนาดเดียวกัน 8 ลูก เป็นสีขาว 3 ลูก และ
สีดำ 5 ลูก สุ่มหยิบลูกบอลจากกล่องนี้มา 3 ลูก ถ้าให้ P เป็น
ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีดำทั้ง 3 ลูก จงหาค่าของ 7P (เติมคำตอบ)

ลองทำก่อนแล้วค่อยดูเฉลยนะ

 

ตัวอย่างข้อสอบความน่าจะเป็น (คณิตศาสตร์ O-NET กพ. 2553 ข้อ 24)

กล่องใบหนึ่งบรรจุสลากหมายเลข  1 – 10  หมายเลขละ 1 ใบ  ถ้าสุ่มหยิบสลากจำนวนสองใบ  โดยหยิบทีละใบแบบไม่ใส่คืน  ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้สลากหมายเลขต่ำกว่า 5 เพียงหนึ่งใบเท่านั้น  เท่ากับข้อใด

1.

2
9

2.

8
15

3.

2
35

4.

11
156

เสร็จแล้วลองดูเฉลยนะ

 

ยังมีตัวอย่างข้อสอบความน่าจะเป็นอีกนะ ลองทำกันดูก่อนแล้วดูเฉลยล่ะ

ตัวอย่างข้อสอบความน่าจะเป็น (คณิตศาสตร์ O-NET กพ. 2553 ข้อ 23)

ทาสีเหรียญสามอันดังนี้  เหรียญแรกด้านหนึ่งทาสีขาว  อีกด้านหนึ่งทาสีแดง  เหรียญที่
สองด้านหนึ่งทาสีแดง  อีกด้านหนึ่งทาสีฟ้า  เหรียฐที่สามด้านหนึ่งทาสีฟ้า  อีกด้านหนึ่ง
ทาสีขาว  โยนเหรียญทั้งสามขึ้นพร้อมกัน   ความน่าจะเป็นที่เหรียญจะขึ้นหน้าต่างสีกัน
ทั้งหมดเป็นดังข้อใด [อ่านต่อ/ดูเฉลย]

ตัวอย่างข้อสอบความน่าจะเป็น (คณิตศาสตร์ O-NET กพ. 2553 ข้อ 26)

ในการเลือกคณะกรรมการชุดหนึ่ง  ซึ่งประกอบด้วย  ประธาน  รองประธาน  และ
เลขานุการอย่างละ  1  คน  จากหญิง  6  คนและ ชาย  4  คน  ความน่าจะเป็นที่คณะกรรมการ
ชุดนี้  จะมีประธานและรองประธานเป็นหญิงเท่ากับข้อใด
[อ่านต่อ/ดูเฉลย]

ตัวอย่างข้อสอบความน่าจะเป็น (คณิตศาสตร์ O-NET กพ. 2553 ข้อ 39)

ตู้นิรภัยมีระบบล็อกที่เป็นรหัสประกอบด้วย ตัวเลขโดด  0 ถึง 9  จำนวน 3  หลัก  จำนวนรหัสทั้งหมดที่มีบางหลักซ้ำกัน  คือเท่าใด (เติมคำตอบ) [อ่านต่อ/ดูเฉลย]

 

เฉลยข้อสอบความน่าจะเป็น

(update 6/6/2013) มีข้อสอบเพิ่มมาอีก 2 ข้อนะครับ เป็นเฉลยข้อสอบ O-Net คณิต และ PAT1 เรื่องความน่าจะเป็น ที่เริ่มจะซับซ้อนขึ้นกว่าเดิม (โดยเฉพาะ PAT1) ลองฝึกฝีมือทำกันก่อนแล้วค่อยดูคลิปเฉลยนะครับ

เฉลยข้อสอบ O-Net ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

เฉลยข้อสอบ PAT1 ความน่าจะเป็นแบบยากขึ้นมาอีกหน่อย

 

จบกันไปแล้วสำหรับเรื่องความน่าจะเป็น ไม่ยากอย่างที่คิดเลยเนอะ ^^ ใช่แล้วครับ เนื้อหาเรื่องนี้จริงๆแล้วดูเหมือนว่าจะยาก แต่ก็มีหลักการและวิธีการคิดที่แน่นอน เป็นขั้นเป็นตอนอยู่ และถ้าน้องสามารถทำได้แล้ว การเรียนเรื่องนี้จะสนุกเอามากๆเลยครับ และง่ายมาก แค่คำนวนบวกลบคูณหารปกติก็ได้คำตอบแล้ว ขอแค่ทำโจทย์เยอะๆครับ

สำหรับคนที่สนใจอยากเรียนคณิตศาสตร์เรื่องความน่าจะเป็น และเรื่องอื่นๆ แต่ไม่อยากอ่านเอง อยากดูในรูปแบบคลิปวีดีโอมากกว่า พี่มีของดีมาแนะนำครับ คลิปวีดีโอสอนเรื่องความน่าจะเป็นครบทุกหัวข้อ และบทเรียนอื่นๆในระดับชั้นมัธยมอีกครบถ้วน สอนอย่างละเอียดตั้งแต่เริ่มต้น พร้อมด้วยโจทย์เรื่องความน่าจะเป็นเรียงจากง่ายไปยาก ที่เว็ปไซท์ http://www.dektalent.com ลองดูนะครับ



ติวฟรี ดอทคอม Facebook

เขียนโดย ติวฟรี ดอทคอม

ผมชื่อ นายติวฟรี จบการศึกษาจากคณะวิศวกรรมศาสตร์ สาขาวิศวกรรมคอมพิวเตอร์ KMITL เป็นคอลัมนิสต์ของเว็บไซท์ TewFree.com รวบรวมเนื้อหา ข่าว และบทความเพื่อการศึกษาที่น่าสนใจ สำหรับน้องๆวัยรุ่นวัยเรียน โดยรวบรวม คลิปวีดีโอจากติวเตอร์ชื่อดัง จากสถาบันกวดวิชาต่างๆทั่วประเทศ มาไว้ที่เว็บนี้ ผมอยากให้ เด็กไทยมีความรู้ ความสามารถ มากขึ้น การศึกษาไทยจะต้องเข้าถึงได้ง่าย สะดวก และรวดเร็ว ทุกที่ ทุกเวลา เพราะเราสนับสนุนการศึกษาไทย


42 ความคิดเห็นในหัวข้อ “ความน่าจะเป็น ม.5 (Probability)”


  1. OIL says:

    ขอบคุณสำหรับเนื้อหาดีๆค่ะ เอามาลงอีกเยอะๆเลยนะคะ

  2. จูน says:

    เข้าใจแล้วคะ ขอบคุณมากคะ

  3. ประกฤษฎิ์ says:

    ขอบคุณพี่โต๋และคณะมากน่ะครับที่ได้จัดทำเว็บติวส์ฟรีขึ้นมาทำให้ผมเก่งขึ้นมามากเลยครับ

  4. ต๋อมแต๋ม says:

    ขอบคุณที่สอนให้เข้าใจเรื่องความน่าจะเป็นค่ะ รู้เรื่องแล้ว ^^

  5. ไมค์กี้พี่ใหญ่ says:

    วันนี้สอบที่โรงเรียน ทำได้หมดเลย ขอบใจครูโต๋มากๆฮับ

  6. Diesel says:

    โจทย์: บริษัทแห่งหนึ่งมีผู้ชาย 8 คน ผู้หญิง 8 คน จากคนกลุ่มนี้เลือกมา เป็นกรรมการ 7 คน โดยให้มีผู้จัดการต้องเป็นผู้ชาย 1 คน แล้วความน่าจะเป็นที่กรรมการ 6 คนที่เหลือ ถูกเลือกมาเป็นผู้หญิงเท่ากับเท่าใด?

    หาแซมเปิ้ลสเปซโดย n(S) =C16,7
    =16!/(9!7!) = 11,440

    หาจำนวนสมาชิกที่เกิดเหตุการณ์ n(E)= C8,1 x C8,6
    =8!/(7!1!) x 8!/(2!6!) = 224

    ความน่าจะเป็น = n(E)/n(S) = 224/11,440 = 0.0196

    ผมคิดถูกหรือเปล่าครับ รบกวนช่วยดูให้ด้วยครับ

  7. [...] (Sin Cos Tan) ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ม.4 ความน่าจะเป็น (Probability) คลิปเฉลยข้อสอบ O-Net คลิปเฉลยข้อสอบ Ent [...]

  8. ต้น says:

    เว็บนี้ดีมากเลยครับ ผมคนนึงกำลังจะเตรียมตัวสอบ แต่ต้องใช้ความรู้สมัยมัธยม เราลืมไปแล้ว พอมาได้ทบทวน พี่โต๋สอนได้เข้าใจมาก ๆ ครับ ขอบคุณครับ

  9. roya says:

    น่าสนใจครับ

  10. มะลิ says:

    เข้าใจดีมากเลยค่ะ ไม่ทราบว่ามีการติวทฤษฎีการแข่งขันบ้างมั้ยคะ ที่เวบไหนค่ะ สอบวันอาทิตย์แล้วยังไม่เข้าใจอ่ะ ขอบคุณค่ะ

  11. แอม says:

    ขอบคุณมากคะ สอนได้เข้าใจง่าย ดีมากๆ เรย

  12. พริม says:

    ขอบคูณมากค่า ^^

  13. เมย์ says:

    ขอบคุณสำหรับเรื่องความน่าจะเป็น

  14. ลาลา says:

    กล่องใบหนึ่งบรรจุเสื้อยืด  13  สีๆละ  4  ตัว  โดยที่เสื้อยืดในแต่ละสีมีขนาด  S,M,L  และ  XL  ตามลำดับ  สุ่มหยิบเสื้อจากกล่องมา  3  ตัวพร้อมๆกัน  ความน่าจะเป็นที่จะได้เสื้อยืดมีสีเหมือนกัน  2  ตัว  เท่ากับเท่าไร
    อยากถามว่าคิดยังไงอะคะ

  15. ชื่น says:

    อยากถามว่าในการเล่นไพ่ป็อกเด้ง จงหาความน่าจะเป็นที่ได้ไพ่สามเด้ง

  16. su says:

    1.กล่องใบหนึ่งมีปากาสีดำ 5 ด้าม สีขาว 3ด้าม สีแดง 4 ด้าม สีน้ำเงิน 3 ด้าม สุ่มหยิบปากามา 4ด้าม จงหาความน่าจะเป็นที่
    ก. ได้ปากกาสีดำทั้งหมด ข. ได้ปากาสีละ 1 ด้าม ค.ไม่ได้ปากกาสีดำและสีเขียว

  17. BBK says:

    ไม่แน่ใจนะครับ เพราะว่ามีเสื้อทั้งหมด 52 ตัว สุ่ม(Random)หยิบ 3 ตัวพร้อมๆกัน n(s)=52 เลือก 3
    ส่วนเหตุการณ์ อ่ะครัฟ แบ่งได้เป็น 13 สี สีละ 4 ตัว น่าจะหมายความว่า
    4เลือก3 + 4เลือก3+…+4เลือก3 ทั้งหมด 13 ครั้ง จะได้ (4เลือก3)*13

    ก็จะได้ว่า P=52/52*25*17
    = 1/25*17 Ans.
    (ปล. ไม่แน่ใจเเหมือนกันนะครัฟว่าถูกหรือเปล่า พอดีเข้ามาหาโจทย์ให้รุ่นน้องทำ เห็นคอมเม้นก็ลองส่งมาดู)

  18. BBK says:

    ขออภัยครัฟ แก้ไขเหตุการณ์นิดนึงนะ มันเป็น 4เลือก2 ครัฟ
    จะได้ (4เลือก2)*13
    P=6*13/52*17*25
    P=3/850 Ans. ครัฟ

  19. Sab E Lee says:

    ต้องขอบคุณพี่ๆมากๆจริงๆครับ ตั้งแต่ผมขึ้น ม.6 มา ผมเรียนเรื่อง ความน่าจะเป็น ไม่รู้เรื่องเลยครับ อาจารย์ที่โรงเรียนผมสอนแบบว่า… หยุดสอนเถอะจะได้ไม่เป็นภาระของรุ่นน้อง ครับ พอผมมาเจอเว็ปของพี่ๆ ก็เหมือนสวรรค์ประทาน จากที่ไม่รู้เรื่อง ผมพลิกกลับมาเป็นรู้เรื่องทันทีเลยครับ ต้องขอบคุณจริงๆครับ

  20. Jumpkungzaaa says:

    ขอบคุณพี่มาก ผมเรียนไม่รู้เรื่องเลยจริงๆ ถ้าไม่ได้พี่ช่วยสอนอย่างละเอียดผมต้องแย่แน่ๆ ขอบคุณอีกครั้งนะครับ

  21. Hatzy says:

    เรื่องนี้ผมเรียนทีไรงงทุกที หยิบลูกบอล โยนเหรียญ ทอยลูกเต๋า ไซส์เสื้ออยู่นั่นล่ะ มาทีไรผมทอยลูกเต๋าเดาคำตอบทุกที 555+

  22. TomLoli says:

    เก็ตมั่กๆ ขอบคุณพี่ติวฟรีมากๆเลยนะครับ

  23. Meng Udomsak says:

    ผมรักคุณครูนะครับ

  24. พลอย says:

    เข้าใจมากเลยค่า

  25. จีบได้ ผัว ตายแล้ว says:

    มาดูก่อนสอบอีกรอบ สุดดดยออดดดด

  26. Namforever Nam says:

    ขอบคุณมากค่ะ รู้วิธีทำมากขึ้น

  27. Beamice Swetz says:

    โอ้ ดูรอบเดียวเข้าใจเลย เจ๋งมาก

  28. Smile FD says:

    Thank you so much. ^^

  29. jo says:

    เข้าใจง่ายมากครับ ขอบคุณมากครับ

  30. Tong Waritsara says:

    ขอบคุณมากๆ คือสอนเข้าใจมากกกค่ะ T^T

  31. Marley says:

    อยากไปเรียนค่ะแต่อยู่พิดโลกก

  32. Weiss says:

    Very nice! Maybe you can do this version for us English viewers that want to learn this in Thai?

  33. Kiki Iz says:

    สุดยอดเลย…

  34. MOS says:

    ขอบคุณพี่มากๆเลยคับ พี่เก่งแล้วยังเป็นคนดีมาสอนฟรีอีก ขอบคุณมากครับผมเข้าใจมากขึ้นเลยครับ

  35. Pang Pang says:

    : ) คอมพิวเตอร์จะอยู่กับเราทุกที่

  36. GTz says:

    ง่ายๆนะคะ นักเรียนทำได้ ลองดูค่ะ

  37. job says:

    สนุกมากค่ะ ได้ทบทวนความรู้ด้วย ขอบคุณมากๆนะคะ

  38. SaBak says:

    เย้ๆ เม้นเเรกกก

  39. Faii Chat says:

    เก่งๆๆๆ

  40. Aoffy Thanagorn says:

    ถ้าตั้งใจเรียน ป่านนี้ผมคงกำลังแก้สมการในคลาสเรียน ป.เอก แน่ๆ

  41. tar_guitar says:

    จัดต่อเลยครับ

  42. bagget says:

    มาแวะดันค้าบ

ร่วมแสดงความคิดเห็นในหัวข้อ “ความน่าจะเป็น ม.5 (Probability)”

Copyright © ติวฟรี.คอม - ติวฟรีออนไลน์ คลิปเฉลยข้อสอบ www.tewfree.com Powered by Wordpress