ความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็น ม.5 (Probability)

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเริ่มมาจากปัญหาของการเล่นเกมการพนัน โดยมีนักพนันชาวฝรั่งเศสชื่อ เซอวาลิเยร์ เดอ เมเร (Chevalier de Mire) ซึงนิยมเล่นพนันมาก เดอ เมเร มีปัญหาอยู่อย่างนึงที่ยังแก้ไม่ตกสักที คือปัญหาในการแบ่งเงินพนันกันระหว่างนักพนัน แกเลยเข้าไปขอคำแนะนำจากนักคณิตศาสตร์ที่ปราดเปรื่องที่สุดในฝรั่งเศสยุคนั้น คือปาสคาล (Pascal) และแฟร์มาต์ (Fermat) จนเป็นที่มาของทฤษฎีความน่าจะเป็นในยุคปัจจุบัน

 

ความน่าจะเป็น (ม.5)

ความน่าจะเป็น ถือเป็นเรื่องหลักเลยที่จะได้เรียนกันในวิชาคณิตศาสตร์ ระดับชั้น ม.5 โดยอาจจะใช้ควบคู่กับ การเรียงลำดับและจัดหมู่ จริงๆแล้วเป็นบทเรียนที่สนุกและง่ายมาก เพราะใช้แค่การ บวก ลบ คูณ หาร ปกติ ไม่ต้องดิ๊ฟหรือใช้สมการยากๆ ก็สามารถหาคำตอบได้แล้ว การเรียนบทนี้ ความละเอียดรอบคอบจะมีส่วนมาก คอมม่อนเซนส์ ก็มีส่วน เช่นรู้ว่านั่งรอบโต๊ะกลมเป็นอย่างไร พระยืนติดผู้หญิงไม่ได้ หรือลูกคนนึงมีแม่กี่คน แต่ก็เป็นเพียงความรู้รอบตัวง่ายๆที่น้องๆทุกคนน่าจะรู้กันอยู่แล้ว ถึงไม่รู้ เห็นครั้งเดียวก็รู้แล้ว เราลองมาดูกันว่า ความน่าจะเป็น สนุกและง่ายขนาดไหน

ความหมายของความน่าจะเป็น

ในชีวิตประจำวันของทุกคนต้องได้ยินคำว่า ความน่าจะเป็น หรือ โอกาส เช่น โอกาสที่วันนี้แดดจะออกมีมาก ความน่าจะเป็นที่โยนเหรียญแล้วจะได้หัว มีเท่ากับได้ก้อย หรือความน่าจะเป็นที่จะถูกหวย มาน้อยกว่าจะถูกเจ้ามือกิน ฯลฯ ในยุคสมัคยก่อนที่ผู้คนส่วนมากใช้ความรู้สึกหรืออารมณ์ในการตัดสินใจอะไรหลายๆอย่าง ซึ่งร้อยคนก็มีความเห็นไม่เหมือนกัน ไม่มีหลักการในการคิด ความน่าจะเป็นจึงมีใช้ช่วยในการตัดสินในเกี่ยวกับเหตุการณ์ต่าง ๆ ได้ถูกต้องมากขึ้น เช่น วันนี้ควรจะเตรียมร่มหรือเสื้อกันฝนเวลาออกนอกบ้าน หรือไม่เมื่อมองดูท้องฟ้าแล้วมืดครึ้ม แสดงว่าโอกาสที่ฝนจะตกวันนี้มีมาก ดังนั้นจึงควรเตรียมอุปกรณ์ที่จะกันฝนได้ไปด้วย อาจจะเป็นร่ม หรือเสื้อกันฝนก็ได้

 

การทดลองสุ่ม (Random Experiment)

การทดลองสุ่มคือการทดลองที่เราสามารถจะคาดคะเนผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นได้ “โดยรวม” ซึ่งผลลัพธ์โดยรวมนี้คือความน่าจะเป็น แต่ว่าไม่สามารถคาดคะเนผลลัพธ์ได้เฉพาะเจาะจงเป็นรายครั้ง ว่า แต่ละครั้งที่เกิดการทดลอง จะเกิดผลลัพธ์อะไร เช่นเราทดลองทอยลูกเต๋า 6 หน้า และสามารถคาดคะเนได้ว่าเมื่อทอยเป็นพันเป็นหมื่นครั้งแล้ว มีความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าจะขึ้นหน้า 1 เป็น 1/6 แต่ว่าเราไม่สามารถที่จะทำนายได้เลยว่า การทอยลูกเต๋าครั้งต่อไป จะขึ้นเลขอะไร

แซมเปิลสเปซ (Sample Space)

คือ เซตที่มีสมาชิกเป็นผลลัพธ์ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม เป็นขอบเขตที่เราสนใจในการทดลองแต่ละครั้ง นิยมใช้สัญลักษณ์ S แทนแซมเปิลสเปซ มีความหมายว่า ในการทดลองหรือการกระทำใดๆก็ตาม ผลลัพธ์มีโอกาสที่จะเกิดขึ้นได้ จะต้องเป็นสมาชิกของแซมเปิลสเปซ

เหตุการณ์ (Event)

คือผลลัพธ์ของการทดลองสุ่ม เป็นสับเซตของแซมเปิลสเปซ เป็นสิ่งที่เราสนใจว่าจะเกิดอะไร

ข้อสังเกตุ: เนื่องจากเหตุการณ์เป็นสับเซตของแซมเปิลสเปซ ดังนั้น เซตว่าง ก็ถือเป็น เหตุการณ์ๆ หนึ่งด้วยครับ

นิยามของความน่าจะเป็น

  ถ้าการทดลองอย่างสุ่มหนึ่ง มีสมาชิกของ แซมเปิลสเปซ เป็นจำนวนเท่ากับ N
และจำนวนสมาชิกของเหตุการณ์ E ที่เราสนใจ มีค่าเท่ากับ n
โดยที่แต่ละสมาชิกของแซมเปิลสเปซนั้น มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆกัน
ความน่าจะเป็นของ การเกิดเหตุการณ์ E เขียนแทนด้วย P(E) จะมีค่าเท่ากับ n/N หรือ P(E)

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ คือ จำนวนที่แสดงให้ทราบว่าเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งมีโอกาสเกิดขึ้น มากหรือน้อยเพียงใด ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ๆ เท่ากับอัตราส่วนของจำนวนเหตุการณ์ที่เราสนใจ (จะให้เกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นก็ได้) ต่อจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้ ซึ่งมีสูตรในการคิดคำนวณดังนี้

สูตรความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

  ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

เมื่อผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่มแต่ละตัวมีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆ กัน
กำหนดให้

E     แทน เหตุการณ์ที่เราสนใจ
P(E) แทน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
n    แทน จำนวนสมาชิกของเหตุการณ์
S   แทน ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้
N  แทน จำนวนสมาชิกของผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้

คุณสมบัติของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

1. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ มีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1 
2. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแน่นอน เท่ากับ 1
3. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่มีโอกาสเกิดขึ้น เท่ากับ  0

 

ข้อสอบความน่าจะเป็น

พี่ได้คัดเลือกข้อสอบเรื่องความน่าจะเป็นแบบง่ายๆมาให้น้องได้ลองฝึกฝีมือทำกันดูนะครับ เป็นข้อสอบ O-Net คณิตศาสตร์ ของจริงที่ใช้สอบกันอยู่เนี่ยแหล่ะครับ ลองทำโจทย์ก่อนดูเฉลยนะ

ตัวอย่างข้อสอบความน่าจะเป็น (คณิตศาสตร์ Entrance)

กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลขนาดเดียวกัน 8 ลูก เป็นสีขาว 3 ลูก และ
สีดำ 5 ลูก สุ่มหยิบลูกบอลจากกล่องนี้มา 3 ลูก ถ้าให้ P เป็น
ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีดำทั้ง 3 ลูก จงหาค่าของ 7P (เติมคำตอบ)

ลองทำก่อนแล้วค่อยดูเฉลยนะ

 

ตัวอย่างข้อสอบความน่าจะเป็น (คณิตศาสตร์ O-NET กพ. 2553 ข้อ 24)

กล่องใบหนึ่งบรรจุสลากหมายเลข  1 – 10  หมายเลขละ 1 ใบ  ถ้าสุ่มหยิบสลากจำนวนสองใบ  โดยหยิบทีละใบแบบไม่ใส่คืน  ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้สลากหมายเลขต่ำกว่า 5 เพียงหนึ่งใบเท่านั้น  เท่ากับข้อใด

1.

2
9

2.

8
15

3.

2
35

4.

11
156

เสร็จแล้วลองดูเฉลยนะ

 

ยังมีตัวอย่างข้อสอบความน่าจะเป็นอีกนะ ลองทำกันดูก่อนแล้วดูเฉลยล่ะ

ตัวอย่างข้อสอบความน่าจะเป็น (คณิตศาสตร์ O-NET กพ. 2553 ข้อ 23)

ทาสีเหรียญสามอันดังนี้  เหรียญแรกด้านหนึ่งทาสีขาว  อีกด้านหนึ่งทาสีแดง  เหรียญที่
สองด้านหนึ่งทาสีแดง  อีกด้านหนึ่งทาสีฟ้า  เหรียฐที่สามด้านหนึ่งทาสีฟ้า  อีกด้านหนึ่ง
ทาสีขาว  โยนเหรียญทั้งสามขึ้นพร้อมกัน   ความน่าจะเป็นที่เหรียญจะขึ้นหน้าต่างสีกัน
ทั้งหมดเป็นดังข้อใด [อ่านต่อ/ดูเฉลย]

ตัวอย่างข้อสอบความน่าจะเป็น (คณิตศาสตร์ O-NET กพ. 2553 ข้อ 26)

ในการเลือกคณะกรรมการชุดหนึ่ง  ซึ่งประกอบด้วย  ประธาน  รองประธาน  และ
เลขานุการอย่างละ  1  คน  จากหญิง  6  คนและ ชาย  4  คน  ความน่าจะเป็นที่คณะกรรมการ
ชุดนี้  จะมีประธานและรองประธานเป็นหญิงเท่ากับข้อใด
[อ่านต่อ/ดูเฉลย]

ตัวอย่างข้อสอบความน่าจะเป็น (คณิตศาสตร์ O-NET กพ. 2553 ข้อ 39)

ตู้นิรภัยมีระบบล็อกที่เป็นรหัสประกอบด้วย ตัวเลขโดด  0 ถึง 9  จำนวน 3  หลัก  จำนวนรหัสทั้งหมดที่มีบางหลักซ้ำกัน  คือเท่าใด (เติมคำตอบ) [อ่านต่อ/ดูเฉลย]

 

เฉลยข้อสอบความน่าจะเป็น

(update 6/6/2013) มีข้อสอบเพิ่มมาอีก 2 ข้อนะครับ เป็นเฉลยข้อสอบ O-Net คณิต และ PAT1 เรื่องความน่าจะเป็น ที่เริ่มจะซับซ้อนขึ้นกว่าเดิม (โดยเฉพาะ PAT1) ลองฝึกฝีมือทำกันก่อนแล้วค่อยดูคลิปเฉลยนะครับ

เฉลยข้อสอบ O-Net ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

เฉลยข้อสอบ PAT1 ความน่าจะเป็นแบบยากขึ้นมาอีกหน่อย

 

จบกันไปแล้วสำหรับเรื่องความน่าจะเป็น ไม่ยากอย่างที่คิดเลยเนอะ ^^ ใช่แล้วครับ เนื้อหาเรื่องนี้จริงๆแล้วดูเหมือนว่าจะยาก แต่ก็มีหลักการและวิธีการคิดที่แน่นอน เป็นขั้นเป็นตอนอยู่ และถ้าน้องสามารถทำได้แล้ว การเรียนเรื่องนี้จะสนุกเอามากๆเลยครับ และง่ายมาก แค่คำนวนบวกลบคูณหารปกติก็ได้คำตอบแล้ว ขอแค่ทำโจทย์เยอะๆครับ

สำหรับคนที่สนใจอยากเรียนคณิตศาสตร์เรื่องความน่าจะเป็น และเรื่องอื่นๆ แต่ไม่อยากอ่านเอง อยากดูในรูปแบบคลิปวีดีโอมากกว่า พี่มีของดีมาแนะนำครับ คลิปวีดีโอสอนเรื่องความน่าจะเป็นครบทุกหัวข้อ และบทเรียนอื่นๆในระดับชั้นมัธยมอีกครบถ้วน สอนอย่างละเอียดตั้งแต่เริ่มต้น พร้อมด้วยโจทย์เรื่องความน่าจะเป็นเรียงจากง่ายไปยาก ลองอ่านข้อความด้านล่างนี้ดูนะครับ

ติวฟรี ดอทคอม Facebook

เขียนโดย ติวฟรี ดอทคอม

สำหรับน้องที่เรียนวิชาคณิตศาสตร์ พี่ติวฟรีขอแนะนำเว็ปไซท์ dektalent.com เป็นเว็ปไซท์สอนคณิตศาสตร์ที่มีคลิปวีดีโอสอนคณิตศาสตร์ ในระดับชั้น ม.ปลาย เป็นร้อยชั่วโมง โจทย์ แบบฝึกหัด ข้อสอบ เป็นพันข้อ เนื้อหาคณิตครบทุกบททุกตอน ถ้าน้องๆชอบติวฟรี น้องๆจะต้อง "รัก" dektalent.com แน่ๆ ลองไปดูกันนะครับ

30 คอมเมนต์ “ความน่าจะเป็น ม.5 (Probability)”

  1. OIL says:

    ขอบคุณสำหรับเนื้อหาดีๆค่ะ เอามาลงอีกเยอะๆเลยนะคะ

  2. จูน says:

    เข้าใจแล้วคะ ขอบคุณมากคะ

  3. ประกฤษฎิ์ says:

    ขอบคุณพี่โต๋และคณะมากน่ะครับที่ได้จัดทำเว็บติวส์ฟรีขึ้นมาทำให้ผมเก่งขึ้นมามากเลยครับ

  4. ต๋อมแต๋ม says:

    ขอบคุณที่สอนให้เข้าใจเรื่องความน่าจะเป็นค่ะ รู้เรื่องแล้ว ^^

  5. ไมค์กี้พี่ใหญ่ says:

    วันนี้สอบที่โรงเรียน ทำได้หมดเลย ขอบใจครูโต๋มากๆฮับ

  6. Diesel says:

    โจทย์: บริษัทแห่งหนึ่งมีผู้ชาย 8 คน ผู้หญิง 8 คน จากคนกลุ่มนี้เลือกมา เป็นกรรมการ 7 คน โดยให้มีผู้จัดการต้องเป็นผู้ชาย 1 คน แล้วความน่าจะเป็นที่กรรมการ 6 คนที่เหลือ ถูกเลือกมาเป็นผู้หญิงเท่ากับเท่าใด?

    หาแซมเปิ้ลสเปซโดย n(S) =C16,7
    =16!/(9!7!) = 11,440

    หาจำนวนสมาชิกที่เกิดเหตุการณ์ n(E)= C8,1 x C8,6
    =8!/(7!1!) x 8!/(2!6!) = 224

    ความน่าจะเป็น = n(E)/n(S) = 224/11,440 = 0.0196

    ผมคิดถูกหรือเปล่าครับ รบกวนช่วยดูให้ด้วยครับ

  7. [...] (Sin Cos Tan) ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ม.4 ความน่าจะเป็น (Probability) คลิปเฉลยข้อสอบ O-Net คลิปเฉลยข้อสอบ Ent [...]

  8. ต้น says:

    เว็บนี้ดีมากเลยครับ ผมคนนึงกำลังจะเตรียมตัวสอบ แต่ต้องใช้ความรู้สมัยมัธยม เราลืมไปแล้ว พอมาได้ทบทวน พี่โต๋สอนได้เข้าใจมาก ๆ ครับ ขอบคุณครับ

  9. roya says:

    น่าสนใจครับ

  10. มะลิ says:

    เข้าใจดีมากเลยค่ะ ไม่ทราบว่ามีการติวทฤษฎีการแข่งขันบ้างมั้ยคะ ที่เวบไหนค่ะ สอบวันอาทิตย์แล้วยังไม่เข้าใจอ่ะ ขอบคุณค่ะ

  11. แอม says:

    ขอบคุณมากคะ สอนได้เข้าใจง่าย ดีมากๆ เรย

  12. พริม says:

    ขอบคูณมากค่า ^^

  13. เมย์ says:

    ขอบคุณสำหรับเรื่องความน่าจะเป็น

  14. ลาลา says:

    กล่องใบหนึ่งบรรจุเสื้อยืด  13  สีๆละ  4  ตัว  โดยที่เสื้อยืดในแต่ละสีมีขนาด  S,M,L  และ  XL  ตามลำดับ  สุ่มหยิบเสื้อจากกล่องมา  3  ตัวพร้อมๆกัน  ความน่าจะเป็นที่จะได้เสื้อยืดมีสีเหมือนกัน  2  ตัว  เท่ากับเท่าไร
    อยากถามว่าคิดยังไงอะคะ

  15. ชื่น says:

    อยากถามว่าในการเล่นไพ่ป็อกเด้ง จงหาความน่าจะเป็นที่ได้ไพ่สามเด้ง

  16. su says:

    1.กล่องใบหนึ่งมีปากาสีดำ 5 ด้าม สีขาว 3ด้าม สีแดง 4 ด้าม สีน้ำเงิน 3 ด้าม สุ่มหยิบปากามา 4ด้าม จงหาความน่าจะเป็นที่
    ก. ได้ปากกาสีดำทั้งหมด ข. ได้ปากาสีละ 1 ด้าม ค.ไม่ได้ปากกาสีดำและสีเขียว

  17. BBK says:

    ไม่แน่ใจนะครับ เพราะว่ามีเสื้อทั้งหมด 52 ตัว สุ่ม(Random)หยิบ 3 ตัวพร้อมๆกัน n(s)=52 เลือก 3
    ส่วนเหตุการณ์ อ่ะครัฟ แบ่งได้เป็น 13 สี สีละ 4 ตัว น่าจะหมายความว่า
    4เลือก3 + 4เลือก3+…+4เลือก3 ทั้งหมด 13 ครั้ง จะได้ (4เลือก3)*13

    ก็จะได้ว่า P=52/52*25*17
    = 1/25*17 Ans.
    (ปล. ไม่แน่ใจเเหมือนกันนะครัฟว่าถูกหรือเปล่า พอดีเข้ามาหาโจทย์ให้รุ่นน้องทำ เห็นคอมเม้นก็ลองส่งมาดู)

  18. BBK says:

    ขออภัยครัฟ แก้ไขเหตุการณ์นิดนึงนะ มันเป็น 4เลือก2 ครัฟ
    จะได้ (4เลือก2)*13
    P=6*13/52*17*25
    P=3/850 Ans. ครัฟ

  19. Sab E Lee says:

    ต้องขอบคุณพี่ๆมากๆจริงๆครับ ตั้งแต่ผมขึ้น ม.6 มา ผมเรียนเรื่อง ความน่าจะเป็น ไม่รู้เรื่องเลยครับ อาจารย์ที่โรงเรียนผมสอนแบบว่า… หยุดสอนเถอะจะได้ไม่เป็นภาระของรุ่นน้อง ครับ พอผมมาเจอเว็ปของพี่ๆ ก็เหมือนสวรรค์ประทาน จากที่ไม่รู้เรื่อง ผมพลิกกลับมาเป็นรู้เรื่องทันทีเลยครับ ต้องขอบคุณจริงๆครับ

  20. Jumpkungzaaa says:

    ขอบคุณพี่มาก ผมเรียนไม่รู้เรื่องเลยจริงๆ ถ้าไม่ได้พี่ช่วยสอนอย่างละเอียดผมต้องแย่แน่ๆ ขอบคุณอีกครั้งนะครับ

  21. Hatzy says:

    เรื่องนี้ผมเรียนทีไรงงทุกที หยิบลูกบอล โยนเหรียญ ทอยลูกเต๋า ไซส์เสื้ออยู่นั่นล่ะ มาทีไรผมทอยลูกเต๋าเดาคำตอบทุกที 555+

  22. TomLoli says:

    เก็ตมั่กๆ ขอบคุณพี่ติวฟรีมากๆเลยนะครับ

  23. Meng Udomsak says:

    ผมรักคุณครูนะครับ

  24. พลอย says:

    เข้าใจมากเลยค่า

  25. จีบได้ ผัว ตายแล้ว says:

    มาดูก่อนสอบอีกรอบ สุดดดยออดดดด

  26. Namforever Nam says:

    ขอบคุณมากค่ะ รู้วิธีทำมากขึ้น

  27. Beamice Swetz says:

    โอ้ ดูรอบเดียวเข้าใจเลย เจ๋งมาก

  28. Smile FD says:

    Thank you so much. ^^

  29. jo says:

    เข้าใจง่ายมากครับ ขอบคุณมากครับ

  30. Tong Waritsara says:

    ขอบคุณมากๆ คือสอนเข้าใจมากกกค่ะ T^T

ใส่คอมเมนต์ที่นี่

Copyright © ติวฟรี.คอม - ติวฟรีออนไลน์ คลิปเฉลยข้อสอบ www.tewfree.com Powered by Wordpress